安定のHamkins大先生

本日(昨日)のmathoverflow案件:
Increasing and Descending Chains of Inner Models for Measurable Cardinals

初見で(b)がわかったのでtwitterの鍵垢に書いたんだけど，一応ここにも書く．
ただ時間的にその直後にHamkins先生のよりgeneralな回答が載っていてあれだった．

Question (b)

"クラスmanyに可測基数が存在して，各順序数 $\alpha$ について $\kappa_\alpha$ を $\alpha$ 番目に可測基数を表すこととして $\kappa_\alpha$ 上の $\kappa_\alpha$ -加法的な2値測度の列 $\langle \mu_\alpha \mid \alpha \in \mathrm{Ord} \rangle$ で， $\alpha < \beta \rightarrow M_{\kappa_\alpha \mu_\alpha} \supseteq M_{\kappa_\beta \mu_\beta}$ となるものが存在する"
はZFC上でどの程度の無矛盾性を持つか?

これに対する回答はZFC上で矛盾するというものでありその証明は以下の通り:

(b)が嘘の証明

$\kappa=\kappa_0$ を最小の可測基数とすると

$V_\kappa \subseteq M_{\kappa \mu}$

$\mu \notin M_{\kappa \mu}$

が成り立ちます．
$\lambda > \kappa$ もまた可測基数のとき， $\kappa$ 上の測度は全部 $V_\lambda$ の中に入っているので， $\mu\in V_\lambda \subseteq M_{\lambda \nu} \subseteq M_{\kappa \mu}$ となってしまって2に矛盾です．

となります．
ここで証明の中の1,2に立ち入りましょう:

(1)の証明

まず， $\kappa$ が可測基数で $\mu$ がその上の測度のとき， $M_{\kappa \mu}$ がどのように作られるかを見る必要があります．
$M_{\kappa \mu}$ とは，俗に言う $\mu$ による超べきというもので以下のように定めます：
$M_{\kappa \mu}= \{ [f]_\mu \mid f: \kappa \to V \}$ ,
$[f]_\mu \in_\mu [g]_\mu \Leftrightarrow_{\mathrm{def}} \mu $\{ \alpha< \kappa \mid f(\alpha) \in g(\alpha) \}$ = 1$ .
ここで $[f]_\mu$ とは $f$ を代表元とする同値類で，使われている同値関係 $\sim_\mu$ は
$f \sim_\mu g \Leftrightarrow_{\mathrm{def}} \mu $\{ \alpha < \kappa \mid f(\alpha) = g(\alpha) \}$=1$
というもの．
このようにして決めたものの推移的崩壊をとると求める $M_{\kappa \mu}$ が決まります．
では $\mu$ からは初等埋め込み $j=j_\mu:V\to M_{\kappa \mu}$ が以下のようにして定まります：
$j(x) = [c_x]_\mu$ .
ここで $c_x:\kappa \to V$ は $x$ を値とする定数関数です．
すると， $j(\alpha)=\alpha(\forall \alpha< \kappa)$ が成り立つことがわかります．
$j(\alpha)=[c_\alpha]_\mu$ ですが，任意の $\beta< j(\alpha)$ に対して $\beta=[f]_\mu$ となる代表元 $f$ が取れます．
$[f]_\mu \in [c_\alpha]_\mu$ が成り立つので，定義から
$\mu$\{ i< \kappa \mid f(i) \in \alpha \}$ = 1$
となります．
ここで， $\mu$ は $\kappa$ 未満個の集合の和に関して加法的であるので，
$\mu$\{ i< \kappa \mid f(i) = \gamma \}$= 1$
となる $\gamma< \alpha$ が定まります．
このことはまさに $[f]_\mu=[c_\gamma]_\mu$ を示しているので $\beta=[f]_\mu = \gamma< \alpha$ となります．
$\beta< j(\alpha)$ は任意だったので $j(\alpha)\leq \alpha$ が示せたことになります．
$\alpha\leq j(\alpha)$ はもっと簡単です．
$j$ が順序を保存する写像であることを利用すればすぐに証明できます．
以上の議論で $j$ が $\kappa$ 上でidentityであることがわかりました．
このことから $j$ が $V_\kappa$ 上でもidentityであることがわかります．
実際， $\kappa$ は可測基数で強極限基数であるので $V_\kappa$ の要素は皆濃度 $\kappa$ 未満になります．
このことと， $V_\kappa$ 上の $\in$ -帰納法を用いれば先ほどの議論と同様に
$j(x)= x (\forall x \in V_\kappa)$
が示せます．
$j:V \to M_{\kappa \mu}$ であったので $V_\kappa$ は $M_{\kappa \mu}$ に含まれることが示せました．

(2)の証明

こっちは以下の通り．
まず， $\kappa$ は最小の可測基数です．
故に， $j(\kappa)$ は $M_{\kappa \mu}$ 上で最小の可測基数です( $j$ は初等埋め込みなので)．
$V_\kappa \subseteq M_{\kappa \mu}$ が成り立つと言いましたが，実は $V_{\kappa 1} \subseteq M_{\kappa \mu}$ も成り立ちます．
特に， $M_{\kappa \mu}$ は $V$ にある $\kappa$ の部分集合をすべて含んでいます．
したがって，もし $\mu \in M_{\kappa \mu}$ が成り立つならば， $\mu:\mathcal{P}(\kappa) \to \{0,1 \}$ は $M_{\kappa \mu}$ 上で $\kappa$ -加法的な2値測度になっています．
このことは， $\kappa$ が $M_{\kappa \mu}$ 上で可測基数であることになりますが，簡単にわかるように $\kappa< j(\kappa)$ です．
これはさきほど言った $j(\kappa)$ が $M_{\kappa \mu}$ 上で最小の可測基数であることに反します．

こんな感じ．
まあリンクはったHamkinsの解説の方が明らかにスマートなんだけど，参考になったらよいです．
bye