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(੭ु´・ω・`)੭ु⁾⁾(੭ु´・ω・`)੭ु⁾⁾

SGL

SGLの4章読んでTopos導入をしている感じなのですが、
generalized elementってなんやねん
という話で、ちょっと思ったことを書く。

Definition:
 \mathcal{E}をtopos、 Bをその対象とします。
 B一般化元(generalized element)とは射 b : X \to Bのこと。

と言われてもなんのこっちゃ。
集合論でいうところの元が元っぽい感じは外延性が成り立っていることに由来しています。
特に、内包公理(正確には分離公理)を適用して得られる集合は集合の外延性によって一意的に定まり、
このことが、 \{x \in B \mid \varphi(x) \} という内包表記を許している所以です。
このことと、一般化元の話が実は対応しています(というのを人から聞いて教わった)。

Definition:
 \mathcal{E}とtopos,  S Bの部分対象、すなわち、 m: S \to Bをmono射とします。このとき、 Bの一般化元 b: X \to B
" Sの中にある"(b is "in  S")とは、 \chi_S \cdot b = \mathrm{true}_Xを満たすことと定義する。
ただし、 \chi_Sはtoposのsubobject classifier \mathrm{true} : 1 \to \Omegaから定義されるSB上の特性写像 \chi_S: B \to \Omegaで,
 \mathrm{true}_Xは射 \mathrm{true}_X : X \to 1 \to^{\mathrm{true}} \Omegaのこと。

この時、次の"外延性定理"が成り立ちます:

Theorem(Extensionality):
 \mathcal{E}をtopos、 Bをその対象、 S T Bの部分対象とする。この時、次の二条件は同値である:

  1.  \{ b \mid \textit{$b$ is "in $S$"} \} = \{ b \mid \textit{$b$ is "in $T$"}\}
  2.  \chi_S = \chi_T

ようは、部分対象の外延たる一般化元を全部集めてきてそれが一致していれば、部分対象を抽出してる特性写像も一致するというわけです。
証明は読者の演習問題とする(手元にはあるけど書く体力はない(可換図式書きたくない))。

というわけで、なんとなくトポスのイメージは湧いてきました。
ただ、まだgeometricなイメージが足りないので修行が必要です。切磋琢磨するですん♫