本日のmathoverflow案件

なんか最近mathoverflowの更新が少ないんだが

大学関係者はこの時期忙しい仮説．

それは別として math.stackexchange のほうにいつぞや気になっていた質問投げました．

About generically Knaster property

解答絶賛募集中なので知ってる人はなんかお願いします．

もうだめ

本日のmathoverflow案件

これについて．

Question:
In different books one can find different implicit definitions for a large cardinal axiom.
My question is that which one of these definitions are more popular or standard amongst set theorists?
Any reference for an explicit definition of a large cardinal axiom is welcome.
What is the definition of a large cardinal axiom?

Woodin II を見ろやらなんやらコメントが付いている． off-topicにされているがdiscussionの余地はあると思う，少なくとも門外漢からすれば． 自分自身でも全然纏まっていないのですが，書かねば，って感じなので書きます． 色々間違ってるかもしれないのでなんかコメントくれるとありがたいです．

私自身はあまり深く考えていなかったわけだが

巨大基数ってのは，そもそも誰が言い出したんだっけってことすら知らんアレだった． 少なくとも意識下にあるのはGödel先生が言い出したLarge Cardinal Programなんだよ． Gödel以前にもあったし，当然強到達不可能基数とか可測基数もあった．

Large Cardinalの存在を仮定しないとモデルの存在すらわからないような主張が存在することがわかったのもこの時代だ． Large Cardinalがないと困るって状況も多くなってきた．

そこでGödelのProgramというワケ． GödelのProgramとは大雑把には以下のものだ： 集合論的な命題は矛盾がないものであれば，Large Cardinalの存在の仮定のもとで無矛盾であることがしばしば示される． Large Cardinalとは例えば強到達不可能基数や可測基数，超コンパクト基数のようなものだ． 逆に，そのような命題から当のLarge Cardinalの存在の主張の無矛盾性も示されることもある． このような状況ははそのLarge Cardinalの存在の主張とequiconsistentであると言われる． さて，Large Cardinalは順序数であり，線形に並んでいる． しかも，多くのLarge Cardinalの性質は比較可能である． 例えば，超コンパクト基数は可測であるし，可測基数は強到達不可能である． このような状況を見るに，任意の命題に関してそれにequiconsistentなLarge Cardinal Axiomを見つければ，それはLarge Cardinal Axiomたちのなす線形な構造の中に位置づけられ，それをその命題の無矛盾性の強度(consistency strength)のように考えることができないだろうか． つまり，任意の命題の無矛盾性の強度をLarge Cardinal Axiomという物差しで測ることができるのではないか． このような考えのもとで命題の無矛盾性の強度を調査していこう．
盛大な誤解があるとの指摘を受けたので訂正.

Gödel's Program:
Decide mathematically interesting questions independent of ZFC in well-justied extensions of ZFC
ref. J. R. Steel, Godel's Program

というものだ．

Large Cardinalって…？

わからん． いや素朴にはより大きい，第2のの``ようなもの''． なんだけど． 少なくとも巨大基数公理という位だから，
という形の命題であろう． は順序数で巨大基数を表す．

無矛盾性の強度の側面から考えるとの無矛盾性を導くという性質は備えていて欲しい：

案その1

を定義にする

ではこれを以って巨大基数公理の定義となすべきか． いやあ，こんなんじゃダメでしょ． のモデルは別に欲して作ってるものじゃないし，そもそものモデルがあるってところからは何もそれ以上出てくるものはない． はどこ行った．

あ！そうだ，考えればいいじゃん． そういえば強到達不可能基数についてはのモデルになるという性質があったからだ．

案その1改

がを満たすを巨大基数と呼ぼう

全然ダメです． Levyの反映定理もしくはLöwenheim-Skolem-Tarskiの定理により，はを満たすならば，未満の十分大きい可算共終なをとることで，がを満たすように出来ます． こんなを巨大基数と呼ぶのはまずいだろう．

案その2

じゃあ強到達不可能基数でいいや．がが強到達不可能基数であることを導けばを巨大基数公理って呼んでもいいよね．

うーん，いい線いっているかもしれないがコレはちょっとまずい． 例えば

とかは定義の条件を満たすが，これぶっちゃけじゃなくても何でもいいし，巨大基数公理からどんな命題も直接(equiconsistencyの意味でなく)導けてしまう． GödelのProgramの目論見もぶち壊しだ．

じゃあもうちょっと弄ろうってことでWoodinのContinuum II(pdf)による定義を紹介します．

案その3

が-formulaで，が強到達不可能であることを導き，かつ任意の強制半順序に関してがを満たせば，を巨大基数と呼ぼう．

これは結構いいんじゃないの． というのも，例えば先程のが強到達不可能でが成り立つとかいうはこの定義を満たさない． 実際，小さい強制法で連続体濃度は自由に弄ることができるのでのところは強制後に壊れるからだ． また，小さい強制法で壊れないって言うのは多くの巨大基数がもつ基本的な性質だ．

実際，Solovayは強到達不可能基数が小さい強制(となるような強制半順序による強制)で保存されることを示した． 因みに歴史的にこの定理は，Gödelがかつて抱いた，巨大基数公理が連続体濃度を決定するのではないかという予想を覆すものであった．

現代的には巨大基数は初等埋め込みの臨界点という形で表現されるものが多い． 初出は忘れたが，以下の定理が良く知られている：

任意の初等埋め込みに対し，その臨界点をとすれば， 任意の半順序とそのGeneric filter に関して写像は
という初等埋め込みに拡張される．

ということで，このいい感じの埋め込みを考えれば多くの巨大基数は小さい強制法で壊れないってことが示せるワケだ．

ところで，がっていう条件は何なんだろうか． コレはおそらくWoodinの-logic絡みのことが元になっている． -Conjecture仮定すると巨大基数公理は互いに比較可能になるらしい． ヨクワカンネ．

まあ多くの巨大基数はとかですよ． 強到達不可能基数はです． が強到達不可能か否かで重要なのは基数の正則性です． これは論理式で書けます．

可測基数はです． が可測ってのは上の測度があればいい． ところで上の測度はの冪集合の冪集合くらいの要素になっているのでくらいあればオッケー． ところで，という論理式はで書けることがよく知られているので，ここにraging overした測度が存在するという存在量化加えてです．

じゃあ超コンパクトはっていうと…あ…あれ…もしかしてこれってでは． 超コンパクト基数は任意のに対して，上の正規ファイン超フィルターの存在するときそのときに限り超コンパクトになります． 詳細は割愛します． が，このフィルターはの冪の冪くらいには入っているので，各に対して正規ほげほげ超フィルターの存在の主張はです． よって一番外のをとって．

いや，でもなんかうまい書き換えすればで書けるんじゃないのって思うかもしれませんが，多分それは無理です． 次の定理があります：

定理: が超コンパクト基数ならばが成り立つ.
A. Kanamori, The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (Springer Monographs in Mathematics)

この定理を使えば超コンパクト基数が,もし存在すればそれが-definableでないことが以下のようにしてわかります．

実際,もしが超コンパクトであることと上同値であるような-論理式が存在したとしましょう. 以下で議論します. を超コンパクト基数で最小のものとします. すると,前に定理により,が成り立ちます. 今,はのことを超コンパクトと思っていて,は-論理式なのだから,初等性によって, でも論理式は成立します. よってあるでがを満たすようなものが取れます.
再び,を用いれば,このがの中だけでなく,でも超コンパクト基数になっていることがわかります. 然し,これはが最小の超コンパクト基数であることに反します. QED

なるほどなるほど,この定義ってのはすべての巨大基数を捉える定義にはなってはいないらしい. ではって制限を取り払ってはどうか. 巨大基数公理界隈にはそもそもそれ一階述語で定義出来るのかよってものも多いしって制限とり払ったとこで実際どうなのって話もある．

結論

えろい人に聞いて下さい

はてブロに移転しました

最近こんなことしかやってないな

本日のmathoverflow案件，をいこうとしたが，解答が来る前に質問者が自己解決してしまったのかどうかとにかくよくは知らないが，質問自体が引っ込められていてリンクを貼ることもできない．

とんでもなくフラストレーションが貯まる行為でありやめていただきたい． なお，発散のためにその質問と解答をここに書くことにします．

Question

可分な完備距離空間がperfect空間ならば，その空間の濃度が になることを示して下さい． また，可分な局所コンパクトHausdorff空間がperfectな場合でもその濃度は くらいになりそうだとも思うし，少なくともカントール空間からの単射が作れそうだと思うのですがどうなのでしょうか？

うん，先に言っておくと，こんなことはundergraduate textに書いてあるような事だからね． ってことでoff topic行きはおそらく免れ得ないだろうから，質問者が質問を引っ込めた事自体は極めて賢明な判断だと思う．
いや，でも答えさせて． set-theoristもしくはgeneral topologistならこんなの一瞬で答えられるだろうが，おそらくそうでない分野の人は一瞬では分からないかもしれないからだ． うん，そうだな，数分はかかって欲しい． そんでコレ読んでやっぱそうだよねってなって(願わくば)．

perfect空間とは

perfect空間とは孤立点を持たない空間のことだ． ここで，位相空間の点 が孤立点であるとは，シングルトン がopenになることをいう． perfectって言うのは歴史的に重要な意味をもつ性質だ． 歴史ってのは，カントールがその連続体仮説を思いつくに至る歴史のこと． Fourie級数の研究の中で，カントールは次の定理を発見した．

Cantor-Bendixsonの定理

1. を可分な空間， をその非可算閉集合とする．このとき， は空でないperfect閉部分集合をもつ．

2. 完備距離空間の任意の空でないperfect閉部分集合はカントール空間を埋め込むことが出来る．

あわせて，任意の可分完備距離空間の閉集合は可算濃度をもつか，あるいは連続濃度をもつ．

この定理の1のほうの証明結構好きなんですが，本筋からずれるのでやめます．

2の証明

と思って議論しても一般性を失わないのでそうします． 勝手に から2点 , をとる． は正規なので , のそれぞれの閉近傍 , で交わりのないものがとれる． 完備距離空間の仮定からいって， , それぞれ，何らかの半径 をもつ境界付きの球と仮定してもよいだろう． は空でないperfect閉部分集合であるので，今度は とみなせば同様に ， を の内部に取れて，それぞれは半径未満． 同様の操作を繰り返すと，空でない閉集合からなる次のような完全2分木 と実数の列 が得られる：

• ,

• ,

• は半径 ,

• .

よって，完備距離空間における区間縮小の要領で，各二進小数 に対して となる点 が存在する． 写像 を で定めればこれはCantor空間 から への埋め込みになっている．QED

Answer(一言で言うと正解(Exactlly!)ですし，なんでその予想ができていて証明が書けないのかがむしろ私的には不思議である)

Cantor空間は連続濃度をもつので可分完備距離空間は少なくとも連続濃度を持つことがわかりましたが，その空間の濃度が連続濃度で押さえられるかはまだわかっていません．

しかし，一般に次の定理が知られています．

を可算weightをもつ 空間とすると， の濃度は連続濃度以下になる．

理由は簡単です． まず，weightが可算なので可算濃度の開基 がとれます． 任意の に対して，それを族 によって識別できるからです． 識別できるっていうのは，ならとなることです． これは が であることから出てきます．

このことは各点 が の部分集合の数だけの可能性しかないことを示しています． よって， の濃度は連続濃度で押さえられるというわけです．

では可分な局所コンパクトHausdorff空間ではどうでしょうか． さっきの証明の閉集合から成る木 をつくるところで，局所コンパクト性を使えば良さそうです． すなわち，局所コンパクトHausdorff空間ではコンパクト集合が基本近傍系となるので， をとる操作自体は継続できるわけです． そして， は有限交差性(finite-intersection-property)をもつコンパクト集合の族の共通部分なので空ではありません． 選択公理なり何なりつかってそこから一点ずつ選んでくればCantor空間からの単射は作れます． QED

MathOverFlow-battle

さっそくですが参戦しました。
Preservation of some stationary sets by sufficiently closed forcing
そんなことしてる暇あったら修論やれ

まじで勘弁して下さい、Hamkins先生

本日のmathoverflow案件
Can a Suslin line be 2-entangled?
Dear J. D. Hamkins先生………
ここに書いてある定理、わたしの完成間近の修論に書いてるやつです。
いやもうちょっと丁寧にやったのでここまで簡単に証明はできていませんが、
修論の主定理にかなり関係のあるものです。
ニアミスもいいとこです。
まじで勘弁して下さい、怖いです。

archive管理を適当にやった話

あれだ。面倒なのでコードだけ乗っける

#!/bin/bash
DATE=$(date +%F)
WORKDIR=./
ARCHIVE=${WORKDIR}/archives
LOGFILE=${ARCHIVE}/.log

function archive_less {
	 TIME=""
	 while :
	 do
	     echo -n "When the article written?([ENTER] to display list): ";
	     read TIME;
	     if [[ ${TIME} != "" ]] ; then
		 break
	     fi
	     tail_log;
	 done
	 less ./archives/blog-${TIME}.txt
}

function tail_log {
	 tail ${LOGFILE}
}

function make_commit {
	./hatenaencode.scm blog.txt
	cp blog.txt ./archives/blog-${DATE}.txt
	cp blog.txt-converted ./archives/blog-${DATE}.txt-converted
	
	TITLE=$(head -1 blog.txt)
	if [[ $(grep ${DATE} ${LOGFILE}) == "" ]] ; then
	   echo "${DATE}: ${TITLE}" >> ${LOGFILE}
	else
	   sed -i '/${DATE}/c ${DATE}: ${TITLE}' ${LOGFILE}
	fi
}

function clean {
	cat /dev/null > blog.txt
	rm -f blog.txt-converted
}

function usage {
    echo "Bad Usage $1 -- Use -h or --help for usage"
}

function help {
    echo "Usage: $0 [OPTION]..."
    echo "Add FILE in archive directory"
    echo "Available options:"
    echo "make, --make       compile file and move file to archive dir"
    echo "less, --less       see archives. Specify files by yyyy-mm-dd"
    echo "log, --log         show tail of log file"
    echo "-h, --help         display this menu"
    echo "clean, --clean     clean all blog.txt"
}

while [[ "$1" != "" ]] ;
do
    case $1 in
	'make' | '--make' )
	    make_commit ;;
	'less' | '--less' )
	    archive_less ;;
	'log' | '--log' )
	    tail_log ;;
	'clean' | '--clean' )
	    clean ;;
	'-h' | '--help' )
	    help;
	    exit 1;;
	* )
	    usage $1;
            exit 1;;
    esac
    shift;
done

使い方はworkdirに適当にhogeとか名前を付けておいてshellにて

% ./hoge [make | less | log | clean]

とするとblog.txtに書いてある内容が前々回のコードhatenaencode.scmを通してarchiveに登録されます。
なお同じ日の投稿は上書きされます注意。
記事の下書きとかありません、バックアップも無いです。
一応logに書いた日とその記事の一行目が残るようにしました。
lessするとinteractiveに書いた日付を入れるとarchiveからとって来てくれます。
いや、直接./archivesの中見て補完で捜したほうが…って突っ込みはなしで。
一応今回は必要なかったオプション引数的なことも意識したので、

% ./hoge make && ./hoge clean

% ./hoge make clean

は効果としてほぼ同じで二度手間は避けれる仕様です(オプション使うならgetopts使えという突っ込みもなし)。
最近すげークソみたいなコードばっか書いてる。

米田さんの話

圏論やってると米田さんにお世話になる機会も多いと思うが，
イマイチ意味も使い方も分からんいう僕みたいな人向けの記事です．
記事を書くにあたって，主に
圏論番外：米田の補題の周辺から(via 檜山檜山正幸のキマイラ飼育記)
や，
MathAdventCalenderの12月24日の記事
等を参考にしました．
簡単なことしか書いてません，ごめんなさい．

まず米田さんとは

をlocally smallな圏としましょう．
locally smallってのは としては別に真のクラスであってもいいけど，
各オブジェクト に対して，そのHom-set が集合であるということを指します．
例えば集合と写像を射とする圏 はこの条件を満たしますし，現実的に使う多くの圏はこの条件を満たします．

また，各 に対して， という関手が定まります．
ここで

で

です．
さっきのlocally smallはこの 関手の定義が意味をなすために必要なわけです．

米田の補題(※CWMではcontravariat versionと呼ばれているもの)

任意の関手 と に対して，
自然な同型

が存在する．

因みに米田の補題は圏論における外延性のようなものと言われています．
どういうことでしょうか．
まず，圏論では基本的にオブジェクトの同一性概念なんてものはあまり考えず，重要視されるのは圏での同型概念です．
オブジェクトの の``外延''を見たい時にはその情報は を参照すればよい，というのが米田さんが教えてくれることです．

では前の米田の補題の に を入れてみましょう．

米田さんの系

任意の に対して，自然な同型

が存在する．

特に，前層の圏 における同型 と圏 における同型 は上の対応で移りあう．

つまり，オブジェクト が同型であることの必要十分条件は， と が同型であることである．

で が同じかどうかを検査したいときには元を取ればよかったのですが，一般の圏のオブジェクト の同型を調べるにはまず任意の と任意の射 をとって， と の間に一対一対応があり，しかもそれが に関して自然であることを証明すればよいのです！

ところで，SGLとかだと射 は の一般化元(generalized element)なんて呼ばれていたりします．
つまり，集合論では元をとるけど，圏論では一般化元をとって議論すれば同型判定ができる，ということです．

では応用してみましょう．
今考える圏 はカルテジアン閉圏です．

指数法則

.

証明

さて，米田さんの出番です．
目的の同型を示すためには，一般化元 と の間に自然な一対一対応があることを示せば良いのです．
まず，注意すべきはexponentialの定義となる随伴の性質です：

.

これは に関して自然でなければなりません．
次に，productは図式のuniversalityから定義されますが，locally smallな圏では以下の に関する自然な同型でもって定義しても同じです：

.

いま として，




が証明できます．
上の同型は に関して自然であるので米田さんにより が証明出来ました．

やっぱ米田さんってすごい．